Xem tài liệu

Có bao nhiêu tứ giác có các đỉnh là đỉnh của đa giác nhưng không có cạnh nào là cạnh của đa giác

Ví dụ 1: Cho đa giác đều $(H)$ gồm 16 đỉnh, có bao nhiêu tứ giác có các đỉnh là đỉnh của $(H)$ nhưng không có cạnh nào là cạnh của $(H).$

A. $110.$

B. $2640.$

C. $660.$

D. $1320.$

Giải. Gọi các đỉnh của đa giác là ${{A}_{1}},{{A}_{2}},...,{{A}_{16}}.$

Để chọn được một tứ giác thoả mãn ta thực hiện qua các công đoạn:

Chọn một đỉnh có 16 cách, giả sử là ${{A}_{1}}.$
Ta tìm số cách chọn ba đỉnh còn lại, tức ba đỉnh ${{A}_{i}},{{A}_{j}},{{A}_{k}}$ và giữa ${{A}_{1}},{{A}_{i}}$ có ${{x}_{1}}$ đỉnh; giữa ${{A}_{i}},{{A}_{j}}$ có ${{x}_{2}}$ đỉnh; giữa ${{A}_{j}},{{A}_{k}}$ có ${{x}_{3}}$ đỉnh và giữa ${{A}_{k}},{{A}_{1}}$ có ${{x}_{4}}$ đỉnh, theo giả thiết có $left{ begin{align}& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}=16-4=12 & {{x}_{m}}ge 1,m=overline{1,4} end{align} right..$

Số cách chọn ra ba đỉnh này bằng số nghiệm tự nhiên của phương trình ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}=12$ và bằng $C_{12-1}^{4-1}=C_{11}^{3}.$

>Xem thêm công thức nghiệm của phương trình này ở Bài toán chia kẹo euler và ứng dụng

Vậy số các tứ giác có thể bằng $16C_{11}^{3},$ tuy nhiên vì vai trai trò bốn đỉnh như nhau nên mỗi đa giác được tính 4 lần, do đó số tứ giác bằng $dfrac{16C_{11}^{3}}{4}=4C_{11}^{3}=660.$ Chọn đáp án C.

>>Chọn ngẫu nhiên ba số nguyên đôi một khác nhau thuộc đoạn [1;8]. Xác suất để ba số được chọn ra là độ dài ba cạnh một tam giác tù bằng

Ví dụ 2: Cho một đa giác $(H)$ gồm 60 đỉnh nội tiếp một đường tròn tâm $O.$ Người ta lập một tứ giác tuỳ ý có bốn đỉnh là các đỉnh của $(H).$ Xác suất để lập được một tứ giác có bốn cạnh đều là đường chéo của $(H)$ gần nhất với số nào dưới đây ?

A. $0,854.$

B. $0,1345.$

C. $0,4035.$

D. $0,807.$

Lời giải: Tứ giác có các cạnh là đường chéo của đa giác tương đương với tứ giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác.

Xác suất cần tính bằng $dfrac{dfrac{60C_{(60-4)-1}^{4-1}}{4}}{C_{60}^{4}}=dfrac{15C_{55}^{3}}{C_{60}^{4}}=dfrac{26235}{32509}approx 0,807.$ Chọn đáp án D.

Bài tập dành cho bạn đọc tự luyện

Câu 15. Cho đa giác đều $(H)$ gồm 24 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên ra 4 đỉnh, xác suất để để chọn được 4 đỉnh là 4 đỉnh của một tứ giác nhưng không có cạnh nào là cạnh của $(H)$ bằng

A. $dfrac{323}{3542}.$

B. $dfrac{969}{1771}.$

C. $dfrac{969}{3542}.$

D. $dfrac{323}{1771}.$

Câu 16. Quanh một hồ nước hình tròn có trồng 10 cây xanh, người ta chặt đi ngẫu nhiên 4 cây. Xác suất để trong 4 cây bị chặt không có hai cây cạnh nhau bằng

A. $dfrac{5}{21}.$

B. $dfrac{10}{21}.$

C. $dfrac{37}{42}.$

D. $dfrac{5}{42}.$